Softonic

Kalkylator för karakteristiskt polynom

Steg 1 / 3 Kalkylator för karakteristiskt polynom
Matrisens storlek
Matrisens element

Använd heltal, decimaltal som 0,25 eller bråk som -3/4. Fyll i varje ruta.

Nästa: polynomets form

Det karakteristiska polynomet för en kvadratisk matris A är det(A - λI), ett polynom i λ vars nollställen är matrisens egenvärden. Fyll i en 2 × 2-, 3 × 3- eller 4 × 4-matris, så ger kalkylatorn polynomet med exakta koefficienter, spåret, determinanten och, för 2 × 2- och 3 × 3-matriser, de reella egenvärdena.

Så hittar du ett karakteristiskt polynom

  1. 1

    Välj storlek och fyll i rutnätet

    Välj 2 × 2, 3 × 3 eller 4 × 4 och skriv sedan in varje element som ett heltal, ett decimaltal som 0,25 eller ett bråk som -3/4.

  2. 2

    Välj form

    Välj det(A - λI), den vanliga läroboksformen, eller det(λI - A), den normerade formen där ledande koefficient alltid är 1. För jämn storlek, som 2 × 2 eller 4 × 4, ger båda samma polynom.

  3. 3

    Läs av polynomet

    Resultatet visar polynomet, en tabell över dess koefficienter samt spåret och determinanten för din matris.

  4. 4

    Kontrollera egenvärdena

    För 2 × 2- och 3 × 3-matriser listas de reella rötterna med sin multiplicitet. För en 4 × 4-matris får du bara det exakta polynomet.

Vad det karakteristiska polynomet säger dig

För en n × n-matris A har polynomet det(λI - A) formen:

λⁿ - (spår A)·λⁿ⁻¹ + ... + (-1)ⁿ·det A

Två av koefficienterna är alltså lätta att läsa av: den andra är minus spåret (summan av diagonalelementen) och konstanttermen är determinanten, upp till tecknet (-1)ⁿ. Rötterna är egenvärdena till A, deras summa är spåret och deras produkt är determinanten. Enligt Cayley-Hamiltons sats uppfyller A också sitt eget polynom: sätter du in matrisen A i stället för λ får du nollmatrisen.

Så beräknas koefficienterna

Kalkylatorn använder Faddeev-LeVerriers rekursion. Med start från enhetsmatrisen bygger den upp en följd av matriser M₁, M₂, ... med Mₖ = A·Mₖ₋₁ + cₙ₋ₖ₊₁·I och tar varje koefficient som cₙ₋ₖ = -spår(A·Mₖ) / k. Varje element omvandlas först till ett exakt bråk, så koefficienterna blir exakta heltal eller bråk, inte avrundade decimaltal.

Räkneexempel (3 × 3)

För A = [[2, 0, 0], [0, 3, 4], [0, 4, 9]] är spåret 2 + 3 + 9 = 14 och determinanten 2·(3·9 - 4·4) = 22. Polynomet är:

λ³ - 14λ² + 35λ - 22

Det faktoriseras som (λ - 1)(λ - 2)(λ - 11), så egenvärdena är 1, 2 och 11. Med formen det(A - λI) byter alla tecken håll vid udda storlek: -λ³ + 14λ² - 35λ + 22.

Exempel (2 × 2)

Matris A Karakteristiskt polynom Reella egenvärden
[[2, 1], [1, 2]] λ² - 4λ + 3 1 och 3
[[1, 2], [3, 4]] λ² - 5λ - 2 5,372281 och -0,372281
[[2, 1], [0, 2]] λ² - 4λ + 4 2 (multiplicitet 2)
[[0, -1], [1, 0]] λ² + 1 inga (komplext par)

Vad kalkylatorn inte gör

  • Den stöder bara storlekarna 2 × 2, 3 × 3 och 4 × 4.
  • Elementen får ha upp till nio siffror och decimaltal upp till sex decimaler. Vetenskaplig notation godtas inte.
  • Egenvärden anges som decimaltal avrundade till sex decimaler, bara för 2 × 2- och 3 × 3-matriser, och bara de reella. Komplexa egenvärden och egenvektorer visas inte.

Vanliga frågor

De skiljer sig med faktorn (-1)ⁿ för en n × n-matris. För 2 × 2- och 4 × 4-matriser är de identiska. För en 3 × 3-matris har de motsatta tecken, medan rötterna, och därmed egenvärdena, är desamma. Många läroböcker använder det(A - λI), medan programvara och vissa kurser använder den normerade formen det(λI - A).

För att beräkningen är exakt. Innehåller matrisen bråk eller decimaltal blir koefficienterna oftast bråk, och 5/6 är mer korrekt än 0,8333. Matriser med bara heltal ger alltid heltalskoefficienter.

Den här sidan ger dig det exakta karakteristiska polynomet för en 4 × 4-matris men löser inte fjärdegradsekvationen. Faktorisera polynomet för hand eller med ett rotsökningsprogram för att få egenvärdena. För en 2 × 2- eller 3 × 3-matris listas de reella egenvärdena åt dig.

Det listas en gång med sin multiplicitet, till exempel λ = 2 (multiplicitet 2) för matrisen [[2, 1], [0, 2]], vars polynom är (λ - 2)².

Nej. Liknande matriser, som A och P⁻¹AP, har samma karakteristiska polynom, och därför fungerar det som ett slags fingeravtryck för en linjär avbildning. Två matriser med samma polynom är dock inte alltid liknande.

Nej. Elementen du skriver in skickas till vår server för att räkna ut resultatet, och de läggs till i sidans länk när du går mellan stegen, så att en beräkning kan bokmärkas eller delas. De sparas inte i något konto eller någon profil.

Relaterade verktyg

Omvandlare från månader till år

Räkna om valfritt antal månader till år plus återstående månader. Praktiskt för lånetider, projektplaner, barns ålder och beräkning av anställningstid.

Kalkylator för viktnedgång i procent

Beräkna hur många procent av kroppsvikten du gått ner mellan två avläsningar. Stöder kg och lb med vettig avrundning.

Kattmatkalkylator

Räkna ut hur många kalorier din katt behöver per dag och hur många gram torrfoder, våtfoder eller båda, utifrån vikt, livsfas och energin på förpackningen.

Namnnumerologikalkylator

Beräkna ditt ödes- och uttryckstal från hela namnet med pythagoreisk numerologi, tillsammans med en personlighetsläsning.

Kalkylator för vuxenlängd

Få en grov uppskattning av vuxenlängd från biologiska föräldrars längder. Verktyget ställer ingen diagnos.

Avrundningskalkylator

Avrunda exakta decimaltal från 12 decimaler till biljoner. Jämför bankavrundning, tak, golv och fem andra metoder.

Verktyget finns på andra språk