Softonic

Kryssproduktkalkylator

Steg 1 / 3 Kryssprodukt (A × B)
Nästa

Kryssprodukten av två 3D-vektorer ger en tredje vektor som är vinkelrät mot båda. Dess längd är lika med arean av det parallellogram som de två vektorerna spänner upp, och dess riktning följer högerhandsregeln. Det gör den oumbärlig för ytnormaler i 3D-grafik, för vridmoment och rörelsemängdsmoment i fysiken och för all geometri som behöver en vinkelrät riktning. Ange komponenterna för vektorerna A och B, så ger det här verktyget dig A × B som (x, y, z) plus dess belopp, med resultatet som uppdateras direkt medan du skriver.

Så beräknar du en kryssprodukt

  1. 1

    Ange vektor A

    Skriv in de tre komponenterna ax, ay och az för den första vektorn.

  2. 2

    Ange vektor B

    Skriv in de tre komponenterna bx, by och bz för den andra vektorn.

  3. 3

    Läs av resultatet

    Den vinkelräta vektorn A × B visas som (x, y, z), tillsammans med dess belopp.

Formeln

För vektorerna A = (ax, ay, az) och B = (bx, by, bz) är kryssprodukten:

A × B = (ay·bz − az·by, az·bx − ax·bz, ax·by − ay·bx)

Varje komponent är en 2×2-determinant av de två andra axlarna, med tecknet för mittentermen ombytt. Ett behändigt minnesknep är determinantutvecklingen längs enhetsvektorerna i, j, k.

Löst exempel

Ta A = (1, 2, 3) och B = (4, 5, 6):

  • x: ay·bz − az·by = 2·6 − 3·5 = 12 − 15 = −3
  • y: az·bx − ax·bz = 3·4 − 1·6 = 12 − 6 = 6
  • z: ax·by − ay·bx = 1·5 − 2·4 = 5 − 8 = −3

Alltså är A × B = (−3, 6, −3). Dess belopp är √((−3)² + 6² + (−3)²) = √54 ≈ 7,348. Du kan kontrollera att resultatet är vinkelrätt: A·(A × B) = 1·(−3) + 2·6 + 3·(−3) = 0. ✓

Viktiga egenskaper

Egenskap Påstående
Antikommutativ A × B = −(B × A)
Parallella vektorer A × A = 0 (varje parallellt par ger 0)
Belopp |A × B| = |A| · |B| · sin(θ)
Vinkelrät (A × B) ⊥ A och (A × B) ⊥ B
Riktning Högerhandsregeln från A mot B

Vanliga fallgropar

  • Ordningen spelar roll. Att byta plats på vektorerna vänder tecknet på varje komponent, eftersom kryssprodukten är antikommutativ.
  • Kryssprodukten finns bara i 3D. Till skillnad från skalärprodukten är A × B definierad för tredimensionella vektorer (en motsvarighet i 7D finns, men används sällan). För 2D-vektorer fyller du på den saknade z med 0.
  • Tecknet för mittentermen. y-komponenten är az·bx − ax·bz, inte ax·bz − az·bx: j-termen subtraheras i determinantutvecklingen, och det är där de flesta fel vid handräkning uppstår.
  • Parallella vektorer ger noll. Om A och B pekar åt samma håll (θ = 0) blir resultatet nollvektorn, eftersom sin(0) = 0.

Vanliga frågor

Skalärprodukten ger ett enda tal (en skalär) och mäter hur parallella två vektorer är. Kryssprodukten ger en vektor som är vinkelrät mot båda och mäter hur vinkelräta de är. De besvarar motsatta frågor.

Inte direkt: kryssprodukten är definierad för 3D-vektorer. För två 2D-vektorer kan du sätta z-komponenten till 0; resultatet har då bara en z-komponent lika med ax·by − ay·bx, ofta kallad ”2D-kryssprodukt” eller tecknad area.

Beloppet är lika med arean av det parallellogram som de två vektorerna spänner upp, och det är även |A| · |B| · sin(θ), där θ är vinkeln mellan dem. Hälften av det är arean av triangeln som bildas av A och B.

Nej. Komponenterna skickas till servern bara för att utföra beräkningen och sparas aldrig i en databas eller behålls efter att sidan stängts.

Relaterade verktyg

RAID-kalkylator

Jämför kapacitet för RAID 0, 1, 5, 6, 10, 50 och 60 med blandade diskstorlekar, paritetsgrupper, hot spare, TB/TiB och diskkostnad.

Numerologikalkylator

Beräkna namnanknutna numerologital med pythagoreiska eller kaldeiska bokstavsvärden: uttryck, själens drivkraft och personlighet.

Kalkylator för board and batten-panel

Planera en invändig board and batten-panel med fria avstånd, centrumlinjer, sågspår, spillmån och antal brädor för de lodräta listerna.

Kalkylator för dimensionering av varmvattenberedare

Beräkna nödvändig kapacitet för en varmvattenberedare med tank utifrån första timmens kapacitet eller uppskatta flöde och värmeeffekt för en genomströmningsberedare.

Kattmatkalkylator

Beräkna dagliga kalorier och matportioner för din katt utifrån vikt, ålder och aktivitetsnivå. Anpassar sig till torr-, våt- eller blandad matning.

Rampkalkylator

Beräkna längd, lutning, vinkel, rampsträckor och uppskattad materialyta från höjdskillnad, förhållande, bredd och vilplansantagande.