Softonic

Lösare för kubiska ekvationer

Steg 1 / 3 Lös ax³ + bx² + cx + d = 0
Nästa

En kubisk ekvation har den allmänna formen ax³ + bx² + cx + d = 0 och har alltid tre rötter i komplexa tal. Ange de fyra koefficienterna och lösningsverktyget returnerar dem enligt Cardanos formel: tre reella rötter när diskriminanten är icke-positiv, en reell rot tillsammans med ett par komplexa konjugater när diskriminanten är positiv, samt en dubbelrotskonfiguration när diskriminanten är noll.

Hur lösningsverktyget hittar rötterna

  1. 1

    Skriv in koefficienter

    Fyra tal: a, b, c, d. Den ledande koefficienten a måste vara icke-noll, annars är ekvationen kvadratisk, inte kubisk.

  2. 2

    Reducerad kubik

    Lösaren förskjuter ekvationen med -b/(3a) för att eliminera den kvadratiska termen och erhåller formen `t³ + pt + q = 0`.

  3. 3

    Diskriminantkontroll

    Δ = (q/2)² + (p/3)³ bestämmer banan: Δ > 0 ger en reell rot, Δ = 0 ger en dubbel rot, och Δ < 0 ger tre reella rötter med hjälp av trigonometri.

  4. 4

    Skifta tillbaka

    Varje rot som hittas i t-rummet förskjuts med -b/(3a) för att återställa x. Lösaren returnerar dem i fallande ordning, där så är tillämpligt.

Diskriminerande fall och vad de innebär

Cardanos metod följer en av tre grenar beroende på tecknet på diskriminanten Δ = (q/2)² + (p/3)³. Geometrin hos den kubiska grafen speglar detta exakt.

Falltabell

Diskriminant Roter Grafens form
Δ > 0 1 reell, 2 komplexa konjugat Skär x-axeln en gång
Δ = 0 3 reella, minst två lika Tangerar x-axeln vid en dubbelrot
Δ < 0 3 distinkta reella rötter Skär x-axeln tre gånger

Exempel med praktisk tillämpning

För x³ − 6x² + 11x − 6 = 0 (koefficienterna är 1, −6, 11, −6):

  • Förskjut med −b/(3a) = 2 för att få den reducerade formen: p = −1, q = 0.
  • Δ = (q/2)² + (p/3)³ = 0 + (−1/3)³ = −1/27 < 0, så vi tar vägen med tre reella rötter (trigonometrisk).
  • Den trigonometriska formeln ger de tre distinkta reella rötterna x = 1, 2 och 3.

Numeriska aspekter

  • Flopptalsfel uppstår när de tre rötterna ligger nära varandra (nära trippelrot). De visade rötter kan avvika från de exakta värdena med flera decimaler.
  • Mycket litet a gör att b/(3a) blir stort, vilket dominerar beräkningen och minskar precisionen. Om |a| är under cirka 1e-12, lös den istället som en kvadratisk ekvation.
  • Heltalskoefficienter ger den renaste utdatan: rationella rötter visas vid sina exakta värden, så när som på avrundning med flyttal.

Relaterade ekvationer

  • Kvadratisk: ax² + bx + c = 0. Använd lösaren för andragradsekvationer – i sluten form och enklare.
  • Kvartisk: ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = 0. Ferraris metod reduceras till en resolvent kubik; behandlas inte här.
  • Reducerad kubik: sätt b = 0 för att hoppa över förskjutningen och mata in x³ + px + q = 0 direkt.

Vanliga frågor

Ekvationen är inte längre kubisk. Lösaren vägrar fortsätta i sådana fall – byt till lösaren för kvadratiska ekvationer för bx² + cx + d = 0.

I det fallet returnerar lösningsverktyget den enda reella rötten. De två övriga rötterna utgör ett par komplexa konjugater som Cardanos formel ger i sluten form; beräkna dem som -x1/2 ± (√3/2) × i × belopp om du behöver dem för ett symboliskt resultat.

Numeriska implementeringar av Cardanos metod kan ge residualer på nivån 1e-15 till följd av avrundning vid flyttkomma. Behandla alla värden under 1e-10 som reella; denna lösningsmetod filtrerar redan dessa residualer bort för grenen Δ < 0.

De fyra koefficienterna skickas till servern enbart för att beräkna rötterna och sparas inte. I steg-för-steg-vyn visas koefficienterna även i sidlänken.

Relaterade verktyg

Omvandlare från månader till år

Räkna om valfritt antal månader till år plus återstående månader. Praktiskt för lånetider, projektplaner, barns ålder och beräkning av anställningstid.

Kattmatkalkylator

Beräkna dagliga kalorier och matportioner för din katt utifrån vikt, ålder och aktivitetsnivå. Anpassar sig till torr-, våt- eller blandad matning.

Kalkylator för vuxenlängd

Få en grov uppskattning av vuxenlängd från biologiska föräldrars längder. Verktyget ställer ingen diagnos.

Namnkompatibilitetskalkylator

Ange två namn och få en lekfull kompatibilitetspoäng plus varje namns pytagoreiska numerologital. Verktyget läser bara det latinska alfabetet (A till Z), så å, ä och ö räknas inte.

Ödesnummerkalkylator

Beräkna ditt numerologiska ödesnummer (även kallat uttrycksnummer) utifrån ditt fullständiga födelsenamn med bokstav-till-tal-mappning och dess betydelse.

Kalkylator för basreflexportens längd

Beräkna längden på en rund port eller slitsport från nettovolym, avstämningsfrekvens, fria innermått och antal portar i metriska eller brittiska enheter.

Verktyget finns på andra språk