Geometrisk talföljd-kalkylator

Formlerna

I en geometrisk talföljd är varje term lika med den föregående termen gånger kvoten r. Med utgångspunkt i första termen a₁:

aₙ = a₁ · r^(n−1)

Summan av de första n termerna (delsumman) är:

Sₙ = a₁ · (1 − rⁿ) / (1 − r) för r ≠ 1

När kvoten är exakt 1 är alla termer lika, så summan blir helt enkelt Sₙ = n · a₁. Om kvoten ligger strikt mellan −1 och 1 konvergerar den oändliga summan mot a₁ / (1 − r).

Löst exempel

Ta a₁ = 2 och r = 3, och be om n = 5 termer.

• Talföljd: 2, 6, 18, 54, 162
• 5:e termen: a₅ = 2 · 3⁴ = 2 · 81 = 162
• Summa: S₅ = 2 · (1 − 3⁵) / (1 − 3) = 2 · (1 − 243) / (−2) = 242

Varje term är exakt 3× den föregående, och de fem termerna summerar till 242.

Termer och delsummor i korthet

Vanliga fallgropar

• Ett steg fel i exponenten. N:te termen använder r^(n−1), inte rⁿ: på första termen har kvoten ännu inte tillämpats.
• Kvot lika med 1. Sätter du in r = 1 i huvudformeln för summan dividerar du med noll. Använd i stället Sₙ = n · a₁; det här verktyget växlar automatiskt.
• Geometrisk eller aritmetisk. En geometrisk talföljd multiplicerar med en fast kvot; en aritmetisk lägger till en fast differens. Att blanda ihop dem ger helt felaktiga termer.
• Negativa kvoter. En kvot som −2 gör att termernas tecken växlar (2, −4, 8, −16, …); det är giltigt och kalkylatorn hanterar det.

Var geometriska talföljder dyker upp

Geometriska talföljder modellerar allt som växer eller minskar med en konstant procent i varje steg. Ränta på ränta multiplicerar ett saldo med samma faktor varje period, så saldona bildar en geometrisk talföljd. Befolkningstillväxt, radioaktivt sönderfall mätt i halveringstider, studshöjderna hos en tappad boll och den årliga avskrivningen av en tillgång följer alla samma mönster. Att känna igen kvoten i verkliga data låter dig förutspå nästa värde, uppskatta en löpande summa eller avgöra om formeln för den konvergenta oändliga summan gäller när kvoten ligger mellan −1 och 1.