Hypergeometrisk kalkylator

Vad beräkningen betyder

N är populationens storlek, K antalet framgångar i populationen, n antalet dragna objekt och X antalet framgångar i urvalet. Dragningen sker utan återläggning: ett draget objekt kan inte dras igen.

För exakt k framgångar:

P(X = k) = C(K, k) × C(N - K, n - k) / C(N, n)

Här betyder C(a, b) antalet sätt att välja b objekt bland a. Bara antal framgångar från max(0, n - (N - K)) till min(n, K) är möjliga. Ett exakt mål utanför det intervallet har sannolikheten noll, även om målet ligger mellan noll och urvalets storlek. Högst k summerar de exakta sannolikheterna till och med k; minst k summerar dem från och med k. En kumulativ händelse utanför det möjliga intervallet kan därför ha sannolikheten noll eller ett.

Exempel: fem dragningar från 20 objekt

En låda innehåller 20 objekt, varav sju är märkta. Dra fem utan återläggning och fråga efter sannolikheten för exakt två märkta objekt. Ange N = 20, K = 7, n = 5, k = 2 och välj Exakt k.

P(X = 2) = C(7, 2) × C(13, 3) / C(20, 5) = 21 × 286 / 15504 = 6006 / 15504 ≈ 0,387384.

Det är ungefär 38,74 %. Välj Högst k för P(X ≤ 2) ≈ 0,793215 eller Minst k för P(X ≥ 2) ≈ 0,594169. Båda de kumulativa händelserna omfattar utfallet med exakt två märkta objekt.

Väntevärde, varians och skillnaden mot binomialfördelningen

Det förväntade antalet framgångar är n × K / N. När N > 1 är variansen n × (K/N) × (1 - K/N) × (N - n)/(N - 1); när N = 1 är den noll. Den sista faktorn tar hänsyn till att den återstående populationens sammansättning förändras.

R:s dokumentation om hypergeometrisk fördelning beskriver motsvarande sannolikhetsfunktion och kumulativa fördelningsfunktion.

Använd en binomial modell när försöken är oberoende och vart och ett har samma sannolikhet för framgång, till exempel om ett objekt läggs tillbaka före nästa dragning. Den hypergeometriska modellen gäller ett fast antal dragningar ur en ändlig population utan återläggning. Kalkylatorn tar emot heltal och beräknar fördelningen i webbläsaren. I stegflödet sparas indata tillfälligt i den här fliken; i en annan flik eller efter att lagringstiden gått ut kan du behöva börja om.

För extremt små sannolikheter som ändå är större än noll kan visningen säga Mindre än 10^-300, eftersom vanliga decimaltal inte kan återge hela värdet. CSV-filen innehåller också tiologaritmen av sannolikheten för varje möjligt utfall, så att du kan se dess storleksordning.