Softonic

Kalkylator för linjär approximation

Steg 1 / 3 Linjär approximation

Använd x som variabel och ^ för potenser. Sätt funktionernas argument inom parentes. Produkter kan du skriva som 2x, 3(x + 1) eller 2*x. Funktioner och konstanter du kan använda: sqrt, cbrt, exp, ln, log, sin, cos, tan, asin, acos, atan, abs, pi, e

Exempel

Nästa: punkten a

Den här kalkylatorn för linjär approximation bestämmer linjäriseringen av en funktion f i en punkt a, alltså tangenten L(x) = f(a) + f’(a)(x - a), och använder den för att uppskatta f(x) för ett x nära a. Skriv funktionen, punkten a och, om du vill ha en uppskattning, ditt x. Du får L(x) utskriven med sina tal och på formen y = kx + m, värdena f(a) och f’(a), den linjära uppskattningen bredvid det verkliga värdet, det absoluta och det procentuella felet samt hela lösningen steg för steg, så som den brukar redovisas i en kurs i envariabelanalys.

Så gör du en linjär approximation

  1. 1

    Skriv funktionen f(x)

    Använd x som variabel, till exempel sqrt(x), x^3 - 2x, ln(x), sin(x), e^x eller 1/x. Potenser skrivs med ^ och funktionernas argument står inom parentes.

  2. 2

    Ange punkten a

    Välj en punkt där f är lätt att beräkna, till exempel 4 för sqrt(x) eller pi/6 för sin(x). Kalkylatorn visar först funktionen så som den läste den, så att en miss som e^2x i stället för e^(2x) upptäcks före resultatet.

  3. 3

    Lägg till det x du vill uppskatta (valfritt)

    Välj ett x nära a, till exempel 4,1. Lämna fältet tomt om du bara behöver linjäriseringen.

  4. 4

    Läs av L(x), uppskattningen och felet

    Resultatet ger L(x) både som f(a) + f'(a)(x - a) och på formen y = kx + m, f(a), f'(a), uppskattningen L(x), det verkliga f(x), båda felen och varje steg i lösningen.

Formeln för linjärisering och när den fungerar

Linjäriseringen av en funktion f i a är den räta linje som går genom punkten (a, f(a)) och har samma lutning som kurvan där:

L(x) = f(a) + f'(a)(x - a)

Nära a är kurvan och dess tangent nästan samma sak, så L(x) ger en snabb uppskattning av f(x). Det här kallas linjär approximation, tangentapproximation eller Taylorpolynomet av första graden.

Räkneexempel: uppskatta sqrt(4,1)

  1. Välj f(x) = sqrt(x) och a = 4, den närmaste punkten där kvadratroten är lätt att beräkna.
  2. Beräkna funktionens värde: f(4) = 2.
  3. Derivera: f'(x) = 1/(2sqrt(x)), så f'(4) = 1/4 = 0,25.
  4. Ställ upp linjen: L(x) = 2 + 0,25(x - 4), vilket är L(x) = 0,25x + 1 på formen y = kx + m.
  5. Uppskatta: L(4,1) = 2 + 0,25(0,1) = 2,025.
  6. Jämför: det verkliga värdet är sqrt(4,1) = 2,024846, så det absoluta felet är 0,000154 och det procentuella felet ungefär 0,0076 %.

Klassiska linjära approximationer

Funktion Punkt a Linjärisering L(x) Uppskattning Verkligt värde Absolut fel
sqrt(x) 4 2 + 0,25(x - 4) L(4,1) = 2,025 2,024846 0,000154
cbrt(x) 8 2 + (1/12)(x - 8) L(8,1) = 2,008333 2,008299 0,000034
ln(x) 1 x - 1 L(1,1) = 0,1 0,095310 0,004690
sin(x) 0 x L(0,1) = 0,1 0,099833 0,000167
e^x 0 1 + x L(0,1) = 1,1 1,105171 0,005171
1/x 2 0,5 - 0,25(x - 2) L(2,1) = 0,475 0,476190 0,001190

Hur stort blir felet?

Felet i en linjär approximation är ungefär |f''(a)| / 2 × (x - a)^2. Av det följer två saker:

  • Avståndet spelar roll, i kvadrat. För sqrt(x) i a = 4 är felet 0,0000016 för x = 4,01; 0,000154 för x = 4,1; 0,0037 för x = 4,5 och 0,0139 för x = 5. Tio gånger längre bort ger ungefär hundra gånger större fel.
  • Krökningen avgör riktningen. Där grafen är konkav (sqrt(x), ln(x)) ligger tangenten över kurvan och uppskattningen blir för hög. Där den är konvex (e^x, 1/x för positiva x) blir uppskattningen för låg. Kalkylatorn talar om vilket fall som gäller.

Så skriver du en funktion

Du vill ha Skriv Kommentar
Decimaltal 0,25x, x^2,5, 4,1 Kommatecken är decimaltecken. Punkt går också (4.1), men inga tusentalsavgränsare: 1.000 och 1.234,5 avvisas, liksom 2.025, eftersom de kan läsas på två sätt. Skriv 1000 och 2,025.
Potenser x^3, x^(1/2), e^(2x) En exponent är ett enda element: e^2x betyder (e^2)x. Använd parentes för e^(2x).
Produkter 2x, 3(x + 1), 2sin(x), x*ln(x) Faktorer som står intill varandra multipliceras.
Inledande minustecken -x^2 Läses som -(x^2). Skriv (-x)^2 för kvadraten på -x.
Rötter sqrt(x), cbrt(x) cbrt är den reella kubikroten, även för negativa x. x^(1/3) saknar värde för negativa x, använd då cbrt(x), och cbrt(x)^2 i stället för x^(2/3).
Vetenskaplig notation 1e-3, 2E5, 1,5e+3 Ett tal som direkt följs av e och en exponent läses som en tiopotens: 1e-3 är 0,001. För 2 gånger konstanten e skriver du 2*e eller 2e^x.
Logaritmer ln(x), log(x) ln är den naturliga logaritmen. log har bas 10 (i svenska läroböcker ofta lg, men här skriver du log).
Trigonometri sin(x), cos(x), tan(x), asin(x), acos(x), atan(x) Radianer. För 30 grader skriver du pi/6. arcsin(x), arccos(x) och arctan(x) går också bra.
Övrigt exp(x), abs(x), pi, e sin^2(x) läses som (sin(x))^2.

Punkter där det inte finns någon linjärisering

  • Utanför definitionsmängden. ln(x) i a = 0, sqrt(x) i a = -1 och 1/x i a = 0 saknar värde, så det finns ingen punkt som tangenten kan röra vid.
  • Ingen lutning. abs(x) har ett hörn i 0, och sqrt(x) och cbrt(x) har en lodrät tangent i 0. Funktionen har ett värde där men ingen ändlig derivata, så det finns ingen linjärisering. Kalkylatorn säger det och visar derivatan som den försökte beräkna.

Vanliga frågor

Det är två namn på samma idé. Linjäriseringen är funktionen L(x) = f(a) + f’(a)(x - a), tangentens ekvation i a. Den linjära approximationen är det du gör med den: använder L(x) som uppskattning av f(x) för x nära a. Kalkylatorn ger båda, linjen och uppskattningen.

Symboliskt, med samma regler som du använder för hand: potensregeln, produktregeln, kvotregeln och kedjeregeln samt standardderivatorna av sqrt, exp, ln, log, de trigonometriska funktionerna och deras inverser och abs. Sedan beräknas derivatans värde i a, så f’(a) är exakt så när som på vanlig flyttalsavrundning och ingen numerisk uppskattning. Derivatan visas i lösningen, lätt städad men inte fullständigt förenklad, så den kan se annorlunda ut än ditt eget svar och ändå vara lika med det.

Här är log(x) logaritmen med bas 10 och ln(x) den naturliga logaritmen, samma konvention som på de flesta miniräknare. I svenska läroböcker skrivs tiologaritmen ofta lg, och en del programvara läser log som den naturliga logaritmen, så kontrollera vilken som avses i din uppgift. När din funktion innehåller log påminner kalkylatorn om det före resultatet.

Alltid i radianer. Deriveringsreglerna, till exempel att derivatan av sin(x) är cos(x), gäller bara i radianer. För 30 grader anger du a = pi/6 och för 45 grader pi/4. Både punkten a och x kan anges med konstanter som pi/6, e eller sqrt(2).

Det finns inget fast avstånd: det beror på hur kraftigt kurvan kröker nära a. Felet växer med kvadraten på avståndet till a, så om du halverar avståndet minskar felet till ungefär en fjärdedel. Lägg till ditt x och läs av det absoluta och det procentuella felet. Är felet för stort för ditt ändamål väljer du en punkt a närmare x.

Antingen har funktionen inget ändligt värde i a, som ln(x) i 0 eller 1/x i 0, eller så har den ett värde men ingen ändlig lutning, som abs(x) i 0 (ett hörn) eller sqrt(x) i 0 (en lodrät tangent). I sällsynta fall, som x*abs(x) i 0, finns derivatan men reglerna ger 0/0 där. Då anger kalkylatorn att lutning saknas och gissar inte. En närliggande punkt löser alla dessa fall.

Värdena beräknas med dubbel precision, omkring 15 gällande siffror, och visas med 7. Ett likhetstecken betyder att talet visas i sin helhet och tecknet för ungefär lika med betyder att det har avrundats. När x ligger så nära a att uppskattningen och det verkliga värdet stämmer överens i nästan alla 15 siffror visas felet bara med de siffror som har betydelse.

Nej. Funktionen och talen du skriver skickas till vår server för att resultatet ska kunna beräknas, och de läggs till i sidans länk när du går mellan stegen, så att en beräkning kan bokmärkas eller delas. De sparas inte på något konto eller i någon profil.

Relaterade verktyg

Omvandlare från månader till år

Räkna om valfritt antal månader till år plus återstående månader. Praktiskt för lånetider, projektplaner, barns ålder och beräkning av anställningstid.

Kattmatkalkylator

Räkna ut hur många kalorier din katt behöver per dag och hur många gram torrfoder, våtfoder eller båda, utifrån vikt, livsfas och energin på förpackningen.

Kalkylator för viktnedgång i procent

Räkna ut hur många procent av kroppsvikten du har gått ner mellan två vägningar, i kilogram eller pund. Ange båda vikterna i samma enhet.

Namnnumerologikalkylator

Beräkna ditt ödes- och uttryckstal från hela namnet med pythagoreisk numerologi, tillsammans med en personlighetsläsning.

Skoldagskalkylator

Räkna vardagarna (måndag till fredag) mellan två datum, med uppdelning på helger och per veckodag. Användbart för terminsplanering, uppgifter och närvaro.

Avrundningskalkylator

Avrunda exakta decimaltal från 12 decimaler till biljoner. Jämför bankavrundning, tak, golv och fem andra metoder.

Verktyget finns på andra språk