Kvadratkomplettering-kalkylator
Givet ett andragradsuttryck ax²+bx+c skriver kvadratkomplettering om det som a(x-h)²+k, vilket direkt visar parabelns vertex (h, k). Ange a, b och c, så returnerar kalkylatorn vertexformen a(x − h)² + k tillsammans med vertexkoordinaterna (h, k). Användbart för analys (calculus), fysik (projektilrörelse), optimeringsproblem och algebraläxor.
Så fungerar kvadratkomplettering
-
1
Ange koefficienterna a, b och c
Andragradsuttrycket ax² + bx + c. Ange decimaltal; ett bråk som 1/2 skriver du som 0,5.
-
2
Bryt ut a ur x²- och x-termerna
a(x² + (b/a)x) + c – skiljer konstanten från x-termerna.
-
3
Addera och subtrahera (b/(2a))²
Skapar en fullständig kvadrat: a(x² + (b/a)x + (b/(2a))²) − a(b/(2a))² + c.
-
4
Skriv om till vertexform
a(x + b/(2a))² + (c − b²/(4a)) = a(x − h)² + k, där h = −b/(2a) och k = c − b²/(4a).
Genomgånget exempel: 2x² + 8x + 5
Steg 1 – bryt ut a = 2 ur x-termerna: 2(x² + 4x) + 5
Steg 2 – hälften av 4 är 2, i kvadrat blir det 4. Addera och subtrahera 4 inuti parentesen: 2(x² + 4x + 4 − 4) + 5
Steg 3 – dela upp i en fullständig kvadrat och en rest: 2((x + 2)² − 4) + 5
Steg 4 – multiplicera in 2: 2(x + 2)² − 8 + 5
Steg 5 – förenkla konstanten: 2(x + 2)² − 3
Vertexform: a = 2, h = −2, k = −3 → vertex i (−2, −3).
Den allmänna formeln
För ax² + bx + c:
- h = −b / (2a)
- k = c − b² / (4a)
- Vertexform: a(x − h)² + k
Varför kvadratkomplettera?
- Hitta vertex direkt för att skissa parabeln.
- Lös andragradsekvationer utan andragradsformeln – särskilt användbart för irrationella rötter.
- Härled själva andragradsformeln: kvadratkomplettering av ax² + bx + c = 0 ger x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a).
- Analys (calculus): hitta extrempunkter för andragradsfunktioner utan att derivera.
- Projektilrörelse: den maximala höjden för en boll som kastas uppåt är k i vertexformen av dess höjdekvation.
- Cirklar och kägelsnitt: kvadratkomplettering av både x- och y-termerna omvandlar x² + y² + Dx + Ey + F = 0 till (x−h)² + (y−k)² = r², vilket gör medelpunkt och radie tydliga.
Parabelns geometri utifrån vertexformen
- Vertex: (h, k).
- Symmetriaxel: x = h.
- Öppnar uppåt om a > 0, nedåt om a < 0.
- Funktionens största eller minsta värde: k.
- Bredd: smalare för |a| > 1, bredare för |a| < 1.
- Rötter (om reella): x = h ± √(−k/a). Reella endast när k/a ≤ 0.
Vanliga misstag
- Att glömma att multiplicera in a efter att kvadraten inuti parentesen har kompletterats. Korrektionstermen ändras då.
- Teckenfel i b/(2a): h = −b/(2a), inte +b/(2a).
- Att inte halvera mittenkoefficienten före kvadreringen. Den vedertagna formuleringen är: ”halva b genom a, sedan i kvadrat”.
- Att lämna a ≠ 1 dolt: bryt alltid ut det först för att förenkla.
Specialfall: a = 1
När a = 1 förenklas processen:
- x² + bx + c → (x + b/2)² + (c − b²/4)
- h = −b/2, k = c − b²/4
Negativt k betyder reella rötter
Om k har motsatt tecken mot a skär parabeln x-axeln. Lös a(x − h)² = −k för att hitta skärningspunkterna.
Vanliga frågor
Kvadratkomplettering visar direkt vertex (grafens form), medan andragradsformeln ger rötterna. Båda har sina användningsområden: rötter när du vill veta var y = 0, och vertexform när du vill ha formen, maximum, minimum eller symmetriaxeln.
Ange koefficienterna som decimaltal; bråk som 1/2 eller 3/4 skriver du som 0,5 eller 0,75. Resultaten beräknas med vanlig flyttalsprecision, som på en vanlig räknare.
Den här versionen hanterar andragradsuttryck i en enda variabel. För kägelsnitt (cirklar, ellipser) i x och y kvadratkompletterar du varje variabel för sig – processen är identisk och tillämpas två gånger.
Vertexformen fungerar fortfarande; parabeln skär bara inte x-axeln, så reella rötter saknas. Kalkylatorn fortsätter att visa vertexformen och vertexkoordinaterna.
Relaterade verktyg
Numerologikalkylator
Beräkna namnanknutna numerologital med pythagoreiska eller kaldeiska bokstavsvärden: uttryck, själens drivkraft och personlighet.
RAID-kalkylator
Jämför kapacitet för RAID 0, 1, 5, 6, 10, 50 och 60 med blandade diskstorlekar, paritetsgrupper, hot spare, TB/TiB och diskkostnad.
Kattmatkalkylator
Beräkna dagliga kalorier och matportioner för din katt utifrån vikt, ålder och aktivitetsnivå. Anpassar sig till torr-, våt- eller blandad matning.
Rampkalkylator
Beräkna längd, lutning, vinkel, rampsträckor och uppskattad materialyta från höjdskillnad, förhållande, bredd och vilplansantagande.
Kalkylator för board and batten-panel
Planera en invändig board and batten-panel med fria avstånd, centrumlinjer, sågspår, spillmån och antal brädor för de lodräta listerna.
Balusterkalkylator
Ange räckets fria spännvidd, balusterbredden och det största tillåtna mellanrummet för att få exakt antal balustrar du behöver och det jämna avståndet mellan varje spjäla, utan något mellanrum som överskrider normen.