Linjär regressionskalkylator

Givet N datapunkter (x_i, y_i) är lutningen och skärningspunkten för den vanliga minstakvadratmetoden:

m = Σ((x_i − x̄)(y_i − ȳ)) / Σ((x_i − x̄)²)
b = ȳ − m · x̄

R² – determinationskoefficienten – är andelen av variansen i y som förklaras av x:

R² = 1 − SS_res / SS_tot

där SS_res är summan av kvadraterna av residualerna och SS_tot är summan av kvadraterna av avvikelserna för y från dess medelvärde. Pearson-r är ±√R² och har samma tecken som lutningen.

Exempel med praktisk tillämpning

Fem datapunkter:

x = 3, y = 4,2. Kovariansens täljare = (1 – 3)(2 – 4,2) + (2 – 3)(4 – 4,2) + (3 – 3)(5 – 4,2) + (4 – 3)(4 – 4,2) + (5 – 3)(6 – 4,2) = 4,4 + 0,2 + 0 – 0,2 + 3,6 = 8,0. Variansens täljare för x = 4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 10.

• Lutningen m = 8,0 / 10 = 0,8
• Skärningspunkt b = 4,2 − 0,8 × 3 = 1,8
• Ekvation: y = 0,8x + 1,8
• R² ≈ 0,727

Vad siffrorna säger – och vad de inte säger

• Lutning m betyder “hur mycket y rör sig per enhet av x”. Den har enheten y/x.
• Skärningspunkt b svarar på frågan “vad är y när x är 0”. Det är endast meningsfullt om x = 0 är möjligt i dina data.
• R² mäter anpassningskvaliteten, inte kausaliteten. En hög R² på störningsfri proxydata kan ändå vara meningslös.
• Pearson-r anger det linjära sambandet. Ett värde på r nära 0, trots ett starkt kurvat samband, betyder fortfarande “ingen linjär anpassning” – inte “inget samband”.

Fallgropar

• Extremvärden förvränger OLS-anpassningarna kraftigt eftersom förlusten är kvadratisk. En enskild avvikande punkt kan rotera linjen med 20 grader.
• Icke-linjäritet upptäcks inte enbart med R² – plotta alltid residualerna mot x.
• Regression är inte symmetrisk: att anpassa y till x ger en annan linje än att anpassa x till y.
• Extrapolering utanför datamängden är spekulation. Anpassningen känner endast till den intervall som den har observerat.