Kalkylator för matrisinvers

När en invers finns

En kvadratisk matris A är inverterbar om och endast om det(A) ≠ 0. Ekvivalenta villkor:

• Kolumnerna är linjärt oberoende.
• Raderna är linjärt oberoende.
• Nollrummet är trivialt (endast nollvektorn).
• A har full rang (rang = n).
• Det linjära systemet Ax = b har en unik lösning för varje b.

2×2-genvägen

För A = [[a, b], [c, d]]:

A^−1 = (1 / (ad − bc)) · [[d, −b], [−c, a]]

Byt plats på diagonalen, byt tecken på elementen utanför diagonalen och dela med determinanten.

Gauss-Jordan i en bild

Start: [A | I].

Slut: [I | A^−1].

De radoperationer som omvandlar A till I omvandlar I till A⁻¹ när de tillämpas på I.

Varför partiell pivotering är viktig

Utan den väljer algoritmen diagonalelementet i den aktuella raden som pivot. Om det värdet är noll eller mycket litet spricker divisionen. Vid partiell pivotering byter man in raden med det största pivotvärdet i absolutbelopp, vilket gör beräkningen numeriskt stabil.

Kontrollera ditt resultat

Multiplicera A · A⁻¹. Du bör få identitetsmatrisen (med en mycket liten numerisk avvikelse). Om du ser att element avviker tydligt från 1 längs diagonalen eller från 0 på andra platser, är matrisen nära singulär och den numeriska inversen är opålitlig – den existerar i teorin, men det beräknade värdet kan avvika med flera siffror.

Löst 2×2-exempel

A = [[4, 7], [2, 6]]

• det(A) = 4·6 − 7·2 = 24 − 14 = 10 (icke-noll, inverterbar).
• Byt plats och byt tecken: [[6, −7], [−2, 4]].
• Dela med 10: A^−1 = [[0.6, −0.7], [−0.2, 0.4]].
• Verifiera: A · A^−1 = [[1, 0], [0, 1]]. ✓

Tips

• Använd exakt aritmetik för små matriser (2×2, 3×3) för att få rena bråk. Flyttal orsakar avrundning även vid enkla heltalsindata.
• Invertera inte för att lösa Ax = b i produktionskod. Radreducera istället det utvidgade systemet [A | b]; det är snabbare och stabilare än att invertera och sedan multiplicera.
• Konditionstal. Om cond(A) är stort (säg >10^10 i dubbel precision) är den numeriska inversen opålitlig, även om den existerar.