Kalkylator för kvadratisk regression

Vad kvadratisk regression beräknar

En kvadratisk modell har formen ŷ = a*x^2 + b*x + c. Här är ŷ ett anpassat y-värde. Koefficienten a styr kurvans böjning, b är den linjära koefficienten och c är det anpassade värdet när x är noll. Lutningen vid ett visst x är 2*a*x + b, så b är inte i sig en konstant lutning. Om a är noll blir den anpassade modellen en rät linje. Om x-värdena ligger långt från noll kan den visade ekvationen använda ett centrerat och skalat x för att beräkningarna ska bli noggranna. Koefficienterna som visas för det ursprungliga x är då ungefärliga.

Kalkylatorn väljer koefficienterna med minstakvadratmetoden. Den minimerar summan av de kvadrerade, lodräta skillnaderna mellan observerade och anpassade y-värden. En andragradskurva är fortfarande linjär med avseende på de tre okända koefficienterna. NIST förklarar linjär minstakvadratanpassning för polynommodeller.

För varje rad gäller residual = observerat y - anpassat y. Rotmedelkvadratfelet är RMSE = sqrt(sum(residual^2)/n), där n är antalet rader. RMSE har samma enhet som y. Determinationskoefficienten är R² = 1 - sum(residual^2)/sum((y - mean(y))^2). Om alla observerade y-värden är lika blir nämnaren noll och R² är odefinierat. Här divideras med n när RMSE beräknas. Det skiljer sig från residualernas standardfel, som dividerar med antalet frihetsgrader för residualerna.

Ett genomräknat exempel

Ange de tre paren (0; 1), (1; 4) och (2; 9). Den anpassade kurvan är ŷ = x^2 + 2*x + 1. Vid x = 0 ger ekvationen c = 1. De andra paren ger a + b + 1 = 4 och 4*a + 2*b + 1 = 9, alltså a = 1 och b = 2. Alla tre residualerna är noll, RMSE är noll och R² är ett. Tre punkter med olika x-värden kan bestämma en andragradskurva exakt, men det visar inte att kurvan förutsäger nya observationer väl.

Vid x = 1,5 ger ekvationen 6,25. Vid x = 3 ger den 16, men det ligger utanför intervallet för de angivna x-värdena och är därför en extrapolering. En andragradskurva kan stiga eller falla snabbt utanför det uppmätta intervallet.

För en anpassning med synliga avvikelser kan du titta på dessa fem observationer:

Dessa residualer uppfyller koefficientekvationerna för minstakvadratmetoden. Summan av deras kvadrater är 0,70, så RMSE = sqrt(0.70/5), ungefär 0,3742. Den totala summan av kvadrerade avvikelser från medelvärdet y = 3 är 14,70. Därmed blir R² = 1 - 0.70/14.70, ungefär 0,9524.

Förbered och tolka dina data

Ange ett värdepar på varje rad som inte är tom. Om du använder punkt som decimaltecken kan du skilja x och y åt med komma, semikolon, tabb eller mellanslag. Om du använder decimalkomma skiljer du dem åt med semikolon, tabb eller mellanslag, till exempel 1,5; 2,25. Använd inte tusentalsavgränsare. En valfri första rad med kolumnnamn godtas bara om den tydligt namnger båda kolumnerna. Varje annan rad som inte är tom måste innehålla två giltiga tal. En felaktig rad avvisas i stället för att hoppas över utan meddelande.

Minst tre olika x-värden behövs för en entydig kvadratisk anpassning. Varje angivet x- och y-värde samt det valfria x-värdet för beräkningen måste ha ett absolutbelopp på högst 10^12. Upprepade mätningar vid samma x-värde är tillåtna och räknas som separata observationer. Granska kurvan och residualerna tillsammans med R² och RMSE. Ett högt R² visar varken orsakssamband eller att nya värden kan förutsägas väl, och det finns ingen allmän gräns för en bra anpassning. NIST beskriver residualanalys som en del av modellvalidering.

Kalkylatorn anpassar dina värdepar i den här webbläsarfliken. Data för anpassningen sparas i sessionens lagring medan du går mellan de tre stegen och tas bort när du väljer Börja om. Sidans länk innehåller inte värdeparen. Den valfria beräkningen ger en punktskattning från den anpassade ekvationen, utan osäkerhetsintervall.