Matrisdeterminantkalkylator

Vad determinanten säger

• Skild från noll: matrisen är inverterbar; dess kolumner är linjärt oberoende; den definierar en bijektiv linjär avbildning.
• Noll: matrisen är singulär; kolumnerna är linjärt beroende; avbildningen kollapsar minst en dimension.
• Tecken: positivt betyder att den linjära avbildningen bevarar orienteringen; negativt betyder att den vänder den (som en spegelbild).
• Storlek: |det(A)| är den faktor med vilken avbildningen skalar den n-dimensionella volymen. En 2×2-matris med determinant 3 skalar areor med 3; determinant −2 skalar areor med 2 och vänder dem.

Små fall: gör dem för hand

2×2:

det([[a, b], [c, d]]) = a·d − b·c

3×3 (Sarrus regel):

det = a(ei − fh) − b(di − fg) + c(dh − eg) för [[a,b,c],[d,e,f],[g,h,i]].

Större fall: använd LU

Att beräkna en 4×4-determinant för hand med kofaktorutveckling kräver 4! = 24 multiplikationer. En 6×6 kräver 720. LU-uppdelning minskar arbetet till O(n³): faktorisera A = LU, där L är nedre triangulär med ettor på diagonalen och U är övre triangulär; då gäller det(A) = det(L)·det(U) = ∏ u_ii.

Egenskaper värda att känna till

• det(AB) = det(A)·det(B).
• det(A^T) = det(A).
• det(A^−1) = 1 / det(A).
• det(kA) = k^n · det(A) för en n×n-matris.
• Att byta plats på två rader ändrar determinantens tecken.
• Att addera en multipel av en rad till en annan ändrar den inte.
• Om någon rad (eller kolumn) enbart består av nollor är determinanten noll.

Vanliga misstag

• Att glömma teckenmönstret vid kofaktorutveckling: + − + − + − .... Kofaktorn (i,j) är (−1)^(i+j) gånger minoren.
• Att utveckla längs en rad med nollskilda element när det finns en rad med tre nollor. Välj den rad eller kolumn som har flest nollor för att underlätta arbetet.
• Att anta att det(A+B) = det(A) + det(B). Så är det inte. Determinanten är multiplikativ, inte additiv.