RREF-kalkylator

Vad reducerad trappstegsform innebär

En matris är i reducerad trappstegsform när varje rad som inte är en nollrad har en ledande etta, varje ledande etta ligger längre åt höger än den i raden ovanför, alla övriga element i en pivotkolumn är noll och eventuella nollrader ligger längst ned. De ledande ettorna är matrisens pivotelement.

RREF visar matrisens numeriska struktur på ett entydigt sätt. Pivotkolumnerna anger var pivotelementen finns, medan de återstående kolumnerna är fria. Rangen är antalet pivotelement. För en matris med n kolumner är nolliteten som visas här n minus rangen, vilket också är antalet fria kolumner.

Verktyget numrerar kolumner från 1. Om resultatet anger pivotkolumn 1 och 3 menas den första och den tredje kolumnen i matrisen du matade in.

Radoperationerna som visas

Kalkylatorn använder de tre vanliga typerna av elementära radoperationer:

• Byta plats på två rader.
• Multiplicera en rad med ett tal som inte är noll.
• Ersätta en rad med sig själv minus en multipel av en annan rad.

För varje pivotkolumn väljer kalkylatorn den återstående rad vars möjliga pivotelement har störst absolutbelopp. Detta partiella pivotval förbättrar den numeriska stabiliteten genom att undvika division med ett mindre tillgängligt värde. Den valda raden flyttas till rätt plats, dess pivot skalas till 1 och elementen ovanför och nedanför pivoten elimineras. Matrisens tillstånd efter varje åtgärd visas i listan över elementära radoperationer.

Olika giltiga följder av radoperationer kan se olika ut på vägen. Den slutliga reducerade trappstegsformen blir densamma, bortsett från små effekter av beräkningarnas begränsade precision.

Genomräknat numeriskt exempel

För standardmatrisen

är den reducerade trappstegsformen

Det finns två pivotelement, i kolumn 1 och 3, så rangen är 2. Kolumn 2 är fri och nolliteten är 3 - 2 = 1. Kalkylatorn visar den exakta följd av radoperationer som den använde för att nå resultatet, inte bara den slutliga matrisen.

Rang, nollitet, pivotkolumner och fria kolumner

Rangen räknar pivotpositionerna i den reducerade matrisen. Den anger dimensionen för matrisens kolonnrum och är även lika med antalet rader som inte är nollrader i RREF.

Nolliteten är dimensionen för matrisens nollrum. För en m × n-matris med rang r gäller dimensionssatsen:

rang + nollitet = antal kolumner, eller r + nollitet = n.

Kalkylatorn bestämmer dessa värden direkt från den numeriska reduktionen. En matris kan sakna fria kolumner och har då nolliteten noll. En bred rektangulär matris kan ha flera fria kolumner, och en matris med beroende rader eller nollrader kan ha lägre rang än antalet rader.

Inmatningsregler och numerisk tolerans

Skriv en matrisrad per textrad. På den svenska sidan skiljer du elementen åt med blanksteg, semikolon (;) eller lodräta streck (|), eftersom komma används som decimaltecken. Tomma rader ignoreras, men alla rader med innehåll måste vara lika långa. Du kan använda heltal, decimaltal eller grundpotensform som 2,5e-3. Varje värde måste vara ändligt och ligga mellan -1000000 och 1000000.

Kalkylatorn använder flyttalsaritmetik. Under reduktionen behandlas värden vars absolutbelopp understiger 1e-10 som noll. Toleransen hindrar små avrundningsrester från att visas som falska pivotelement, men matriser som är nära singulära bör kontrolleras med den precision som kursen eller tillämpningen kräver.

Vad kalkylatorn inte gör

Detta är ett verktyg för numerisk matrisreduktion, inte ett symboliskt algebrasystem. Det godtar inte variabler, bråk skrivna som uttryck, rotuttryck eller formler. Det beräknar inte determinant eller invers och tar inte fram någon parameterframställning, översätter inte rader till ekvationer och avgör inte om ett separat beskrivet ekvationssystem är konsistent.

Du kan mata in en numerisk utökad matris för att granska dess radreduktion, men verktyget behandlar varje kolumn som en del av en enda matris. Det känner inte igen någon skiljelinje för en utökad matris och tolkar inte den sista kolumnen som konstanter. Använd den visade RREF-matrisen och kolumnuppgifterna som matrisresultat och tillämpa sedan de konventioner som krävs för din uppgift i linjär algebra.