Softonic

Trippelintegralkalkylator

Steg 1 / 4 Trippelintegral

Trippelintegraler mäter storheter som är fördelade i ett tredimensionellt område: volym, massa från en densitetsfunktion eller ett ackumulerat värde ∭f(x,y,z) dV. Den här kalkylatorn ger en webbläsarbaserad approximation med mittpunktsregeln över rektangulära numeriska gränser för x, y och z, vilket passar snabba kontroller, undervisningsexempel och lådformade områden.

Så approximerar du en trippelintegral

  1. 1

    Ange f(x,y,z)

    Använd kalkylatorsyntax som x*y*z, x^2+y^2+z^2 eller sin(x)*cos(y).

  2. 2

    Sätt numeriska gränser

    Fyll i min- och maxvärden för x, y och z. Verktyget beräknar en rektangulär låda i xyz-rummet.

  3. 3

    Välj steg per axel

    Reglaget sätter n delningar för varje axel, så uppskattningen använder n³ mittpunktssamplingar.

  4. 4

    Beräkna mittpunktsuppskattningen

    Varje liten låda samplas i centrum och multipliceras med volymelementet ΔxΔyΔz.

  5. 5

    Förfina och rimlighetskontrollera

    Öka antalet steg och jämför med enkla fall eller ett symboliskt resultat när ett sådant finns.

Vad kalkylatorn faktiskt beräknar

Indata Hur det används Praktisk notering
f(x,y,z) Värdet som samplas i varje mittpunkt Släta funktioner konvergerar mer förutsägbart än skarpa toppar eller diskontinuiteter
x min/max, y min/max, z min/max Numeriska rektangulära gränser Gränser kan vara negativa; om min och max byts ändras tecknet för den axeln
Steg per axel Antal delningar i varje dimension Arbetet växer som n³, så 60 steg innebär 216 000 funktionsberäkningar

Det här är en numerisk kalkylator, inte en symbolisk integrator. Den hittar inga primitiva funktioner och härleder inte nya gränser för sfäriska eller cylindriska koordinater. Om området är en boll, kon eller annan krökt kropp behöver du först skriva om problemet till gränser och en integrand som den här rektangulära mittpunktsmetoden kan sampla, eller använda ett symboliskt arbetsflöde för trippelintegraler.

Vanliga användningar

  • Volymkontroll: använd f(x,y,z) = 1 över en låda för att bekräfta volymen.
  • Massuppskattning: ange en densitetsfunktion ρ(x,y,z) och integrera den över numeriska gränser.
  • Medelvärde: dela integraluppskattningen med lådans volym.
  • Numerisk verifiering: jämför ett handräknat svar eller facit med en snabb beräkningsuppskattning.

Koordinatsystem och volymelement

Koordinatsystem Typiskt volymelement Att komma ihåg här
Kartesiskt dx dy dz Matchar direkt kalkylatorns x/y/z-gränser
Cylindriskt r dr dθ dz Praktiskt för axialsymmetriska områden, men faktorn r måste ingå i den transformerade integranden
Sfäriskt ρ² sin(φ) dρ dφ dθ Praktiskt för bollar och skal, men kräver transformerade gränser och Jacobifaktorn

Gränssnittet accepterar bara numeriska intervall för x, y och z. Koordinatsystem är fortfarande användbara när du ställer upp matematiken, men det slutliga uttrycket måste passa de variabler och gränser som kalkylatorn samplar.

Kontroll: enhetskub

För enhetskuben och f(x,y,z) = x*y*z:

∭_{0≤x,y,z≤1} x*y*z dV
= (∫₀¹ x dx)(∫₀¹ y dy)(∫₀¹ z dz)
= (1/2)(1/2)(1/2)
= 1/8 = 0,125

Det här är en bra testingång eftersom gränserna är rektangulära och det förväntade svaret är enkelt. Om det numeriska resultatet ligger långt från 0,125, öka antalet steg eller kontrollera uttryckets syntax.

Tips för noggrannhet

Mittpunktsregeln blir oftast bättre när du ökar antalet steg, men den är fortfarande en approximation. Släta funktioner på en rektangulär låda fungerar bäst. Diskontinuerliga funktioner, singulariteter, mycket smala toppar eller områden som inte faktiskt är lådformade kan ge missvisande värden om problemet inte formuleras om noggrant.

Vanliga frågor

Kalkylatorn använder en numerisk mittpunktsregel. Fler steg betyder fler samplingspunkter, så för släta integrander bör uppskattningen oftast närma sig ett stabilt värde.

Nej. Den här sidan approximerar bestämda integraler över numeriska gränser. Använd en symbolisk integralkalkylator när du behöver primitiva funktioner eller algebraiska steg.

Inte direkt. Indata är rektangulära intervall för x, y och z. För cylindriska eller sfäriska uppställningar behöver rätt Jacobifaktor och transformerade gränser användas i en metod som stöder de variablerna.

Nej. Alla beräkningar körs i din webbläsare.

Relaterade verktyg

Numerologikalkylator

Beräkna namnanknutna numerologital med pythagoreiska eller kaldeiska bokstavsvärden: uttryck, själens drivkraft och personlighet.

Lyftkraftskalkylator

Beräkna lyftkraften med Arkimedes formel F = ρ·V·g. Ange vätskans densitet och den nedsänkta volymen för att få den uppåtriktade kraften i newton och massan undanträngd vätska i kilogram.

Balusterkalkylator

Ange räckets fria spännvidd, balusterbredden och det största tillåtna mellanrummet för att få exakt antal balustrar du behöver och det jämna avståndet mellan varje spjäla, utan något mellanrum som överskrider normen.

Lönekalkylator

Uppskatta nettolön från bruttolön och de avdragsprocent du anger. Beräkningen körs lokalt i webbläsaren.

BH-storlekskonverterare

Konvertera mellan brittiska, amerikanska, europeiska, franska/belgiska, australiska/nyzeeländska och japanska BH-storlekar. Band- och kupmappning med fullständiga tips om systerstorlekar.

Board foot-kalkylator

Beräkna board feet för valfritt virke utifrån tjocklek, bredd och längd, multiplicera med antalet och lägg till ett pris per board foot för att få den totala kostnaden för din beställning.