Softonic

Trippelintegralkalkylator

Steg 1 / 4 Triple integral

Trippelintegraler beräknar volym, massa och flöde över tredimensionella områden — den sortens problem där ett kartesiskt område som en låda har enkla gränser, men kroppen mellan två paraboloider kräver noggranna beslut om integrationsordning. Den här kalkylatorn beräknar ∭f(x,y,z) dV över de gränser du anger, stöder kartesiska, cylindriska och sfäriska koordinater och visar varje primitivt steg.

Så beräknar du en trippelintegral

  1. 1

    Ange f(x,y,z)

    Integranden. Standardnotation: x*y*z, x^2+y^2, sin(x)*cos(y).

  2. 2

    Välj ett koordinatsystem

    Kartesiskt (dx dy dz), cylindriskt (r dr dθ dz) eller sfäriskt (ρ² sin(φ) dρ dφ dθ).

  3. 3

    Sätt gränserna

    För var och en av de tre variablerna — konstanter eller funktioner av de andra.

  4. 4

    Välj integrationsordning

    dzdydx, dxdydz osv. Valet kan förenkla matematiken dramatiskt.

  5. 5

    Se steg-för-steg-beräkning

    Inre integralen först, sedan den mellersta, sedan den yttre, med primitiva funktioner i varje steg.

Vad de tre koordinatsystemen är till för

System Volymelement Bäst för
Kartesiskt dx dy dz Lådor, prismor, allmänna osymmetriska områden
Cylindriskt r dr dθ dz Cylindrar, koner, rotationsytor
Sfäriskt ρ² sin(φ) dρ dφ dθ Klot, sfärsektorer, gravitationsproblem

Att använda fel system förvandlar en trivial integral till en mardröm. Ett klot med radie 1 integrerat kartesiskt får röriga √(1 − x² − y²)-gränser; i sfäriska koordinater blir det ∫₀²π ∫₀π ∫₀¹ ρ² sin(φ) dρ dφ dθ, rent och separabelt.

Vanliga problem

Att byta integrationsordning

För ett område där den inre gränsen inte kan uttryckas snyggt som en funktion av den yttre variabeln hjälper det ofta att byta ordning. Skissa området, projicera på det inre-yttre plan du vill ha och härled gränserna på nytt.

Genomräknat exempel: en sfärs volym

I sfäriska koordinater, enhetsklotet {x²+y²+z² ≤ 1}:

V = ∫₀²π ∫₀π ∫₀¹ ρ² sin(φ) dρ dφ dθ
  = ∫₀²π ∫₀π [ρ³/3]₀¹ sin(φ) dφ dθ
  = ∫₀²π ∫₀π (1/3) sin(φ) dφ dθ
  = ∫₀²π (1/3)[-cos(φ)]₀π dθ
  = ∫₀²π (2/3) dθ
  = 4π/3

Den berömda V = (4/3)πr³ faller ut i tre rena steg — kartesiskt är samma integral flera sidor lång.

Numerisk reserv

Vissa integraler har ingen primitiv funktion i sluten form. När symbolisk integration misslyckas faller kalkylatorn tillbaka på numerisk kvadratur och returnerar ett ungefärligt värde med en feluppskattning.

Vanliga frågor

Oftast var gränserna fel. Gränser för trippelintegraler kan bero på inre variabler, och felaktig ordning ger matematiskt olika integraler. Skissa området först och härled sedan gränserna noggrant.

Kalkylatorn växlar till numeriska metoder (adaptiv kvadratur). Du får ett numeriskt svar med en felgräns i stället för ett symboliskt uttryck.

Sfäriska när området har full 3D-symmetri kring en punkt (klot, koner från en punkt). Cylindriska när det finns axiell symmetri (cylindrar, rotationsytor kring en axel). Kartesiska när ingen av dessa finns.

Nej. All beräkning körs i din webbläsare.

Relaterade verktyg

Integralkalkylator

Beräkna definitiva och indeterminerade integraler symboliskt, med stegvis arbetsföljd samt numrisk ersättning när en sluten form inte är känd.

Ålderskalkylator

Beräkna exakt ålder i år, månader och dagar från ett födelsedatum, plus totalt antal dagar, timmar och nedräkning till nästa födelsedag.

BMI-kalkylator

Beräkna body mass index från längd och vikt. Visar WHO-kategori, hälsosamt viktintervall och BMI:s begränsningar.

BMR-kalkylator

Uppskatta din basala ämnesomsättning — kalorierna du förbränner i fullständig vila. Använder Mifflin-St Jeor-ekvationen, aktuell klinisk standard.

Kaloriregulator

Beräkna dina dagliga kaloribehov för ditt mål med hjälp av Mifflin-St Jeor BMR och aktivitetsfaktorer. Inkluderar mål för kaloriunderskott och kaloriöverskott.

CD-kalkylator

Beräkna ränta och slutbalans för ett insättningsbevis. Hanterar räntesammanlagningens frekvens samt avgifter vid förtidig uttag.