Softonic

Egenvärdesräknare

Steg 1 / 4 Matris A
Första raden

Använd den här egenvärdesräknaren för att lösa en reell 2×2-matris utifrån dess fyra element. Verktyget beräknar spår, determinant, karakteristiskt polynom, diskriminant och egenvärden, och visar sedan reella egenvektorer när de två egenvärdena är skilda och reella. Det passar för uppgifter i linjär algebra, för snabba kontroller i tekniska modeller och för att stämma av innan du diagonaliserar en liten matris för hand.

Så hittar du egenvärdena

  1. 1

    Fyll i matrisens element

    Ange a, b, c och d för matrisen A = [[a, b], [c, d]]. Decimaltal och negativa värden fungerar.

  2. 2

    Ställ upp den karakteristiska ekvationen

    Räknaren använder spåret T = a + d och determinanten D = ad - bc för att bilda λ² - Tλ + D = 0.

  3. 3

    Klassificera rötterna

    Diskriminanten T² - 4D avgör om egenvärdena är två reella värden, ett dubbelrotsvärde eller ett komplexkonjugerat par.

Formel för en 2×2-matris

För A = [[a, b], [c, d]] är egenvärdena rötterna till:

det(A - λI) = 0

Om du utvecklar den determinanten får du:

λ² - Tλ + D = 0

Där:

  • T = a + d är spåret.
  • D = ad - bc är determinanten.
  • Δ = T² - 4D är diskriminanten.

Alltså:

λ = (T ± sqrt(Δ)) / 2

Räknat exempel

För A = [[2, 1], [1, 2]] är spåret T = 2 + 2 = 4 och determinanten D = 2·2 - 1·1 = 3. Det karakteristiska polynomet blir:

λ² - 4λ + 3 = 0

Diskriminanten är Δ = 4² - 4·3 = 4, så egenvärdena är:

λ₁ = (4 + 2) / 2 = 3

λ₂ = (4 - 2) / 2 = 1

Till egenvärdet 3 hör till exempel egenvektorn [1, 1], och till egenvärdet 1 egenvektorn [1, -1]. Varje skalär multipel av dessa vektorer som inte är noll är också en giltig egenvektor.

Vad diskriminanten betyder

Diskriminant Δ Fall för egenvärdena Vad du kan vänta dig
Δ > 0 Två reella egenvärden Två skilda reella rötter och, för en 2×2-matris, två oberoende egenvektorer när matrisen är diagonaliserbar över de reella talen.
Δ = 0 Dubbelt egenvärde En dubbelrot. Egenrummet kan ha en eller två dimensioner, så kontrollera egenvektorerna separat om diagonalisering spelar roll.
Δ < 0 Komplexkonjugerat par Inga reella egenvärden. Rötterna har samma realdel och motsatta imaginärdelar.

Vanliga misstag

  • Att ställa upp A - λI fel. Bara elementen på diagonalen ändras: a - λ och d - λ.
  • Att glömma tecknet i determinanten. För en 2×2-matris gäller D = ad - bc, inte ad + bc.
  • Att anta att ett dubbelt egenvärde alltid är diagonaliserbart. En dubbelrot kräver ändå tillräckligt många oberoende egenvektorer.
  • Att avrunda för tidigt. Håll spår, determinant och diskriminant exakta så länge som möjligt, särskilt med decimaltal.

Vanliga frågor

Verktyget är inriktat på reella 2×2-matriser. Då blir resultatet genomskinligt: varje värde kommer från spåret, determinanten och det karakteristiska andragradspolynomet.

Ja. Om diskriminanten T² - 4D är negativ bildar egenvärdena ett komplexkonjugerat par. En rotationsmatris som [[0, -1], [1, 0]] är standardexemplet.

Räknaren visar egenvektorer för skilda reella egenvärden, eftersom det då går att ange en enkel reell vektor för varje rot. Dubbla och komplexa fall kräver mer sammanhang, så där håller sig verktyget till egenvärdena och klassificeringen.

Ingen fil laddas upp. Elementen behandlas av sidans komponent för att ge spår, determinant, polynom och egenvärden.

Relaterade verktyg

Kattmatkalkylator

Beräkna dagliga kalorier och matportioner för din katt utifrån vikt, ålder och aktivitetsnivå. Anpassar sig till torr-, våt- eller blandad matning.

Kalkylator för dimensionering av varmvattenberedare

Beräkna nödvändig kapacitet för en varmvattenberedare med tank utifrån första timmens kapacitet eller uppskatta flöde och värmeeffekt för en genomströmningsberedare.

Kalkylator för snowboardstorlek

Uppskatta ett längdintervall och en breddkategori för en konventionell vuxensnowboard utifrån vikt, längd, pjäxstorlek, nivå och åkstil och kontrollera sedan modellens tabell.

RAID-kalkylator

Jämför kapacitet för RAID 0, 1, 5, 6, 10, 50 och 60 med blandade diskstorlekar, paritetsgrupper, hot spare, TB/TiB och diskkostnad.

Remlängdskalkylator

Beräkna exakt delnings-, referens- eller effektiv längd, eller centrumavståndet, från två referensdiametrar på remskivorna.

Kalkylator för poolens cirkulationsflöde

Beräkna nödvändigt cirkulationsflöde från poolvolym och omsättningstid eller kontrollera omsättningstiden vid ett faktiskt flöde i m³/m³/h eller gallon/GPM.

Verktyget finns på andra språk