Softonic

Egenvärdesräknare

Steg 1 / 4 Matris A
Första raden
Nästa

Använd den här egenvärdesräknaren för att lösa en reell 2×2-matris utifrån dess fyra element. Verktyget beräknar spår, determinant, karakteristiskt polynom, diskriminant och egenvärden, och visar sedan reella egenvektorer när de två egenvärdena är skilda och reella. Det passar för uppgifter i linjär algebra, för snabba kontroller i tekniska modeller och för att stämma av innan du diagonaliserar en liten matris för hand.

Så hittar du egenvärdena

  1. 1

    Fyll i matrisens element

    Ange a, b, c och d för matrisen A = [[a, b], [c, d]]. Decimaltal och negativa värden fungerar.

  2. 2

    Ställ upp den karakteristiska ekvationen

    Räknaren använder spåret T = a + d och determinanten D = ad - bc för att bilda λ² - Tλ + D = 0.

  3. 3

    Klassificera rötterna

    Diskriminanten T² - 4D avgör om egenvärdena är två reella värden, ett dubbelrotsvärde eller ett komplexkonjugerat par.

Formel för en 2×2-matris

För A = [[a, b], [c, d]] är egenvärdena rötterna till:

det(A - λI) = 0

Om du utvecklar den determinanten får du:

λ² - Tλ + D = 0

Där:

  • T = a + d är spåret.
  • D = ad - bc är determinanten.
  • Δ = T² - 4D är diskriminanten.

Alltså:

λ = (T ± sqrt(Δ)) / 2

Räknat exempel

För A = [[2, 1], [1, 2]] är spåret T = 2 + 2 = 4 och determinanten D = 2·2 - 1·1 = 3. Det karakteristiska polynomet blir:

λ² - 4λ + 3 = 0

Diskriminanten är Δ = 4² - 4·3 = 4, så egenvärdena är:

λ₁ = (4 + 2) / 2 = 3

λ₂ = (4 - 2) / 2 = 1

Till egenvärdet 3 hör till exempel egenvektorn [1, 1], och till egenvärdet 1 egenvektorn [1, -1]. Varje skalär multipel av dessa vektorer som inte är noll är också en giltig egenvektor.

Vad diskriminanten betyder

Diskriminant Δ Fall för egenvärdena Vad du kan vänta dig
Δ > 0 Två reella egenvärden Två skilda reella rötter och, för en 2×2-matris, två oberoende egenvektorer när matrisen är diagonaliserbar över de reella talen.
Δ = 0 Dubbelt egenvärde En dubbelrot. Egenrummet kan ha en eller två dimensioner, så kontrollera egenvektorerna separat om diagonalisering spelar roll.
Δ < 0 Komplexkonjugerat par Inga reella egenvärden. Rötterna har samma realdel och motsatta imaginärdelar.

Vanliga misstag

  • Att ställa upp A - λI fel. Bara elementen på diagonalen ändras: a - λ och d - λ.
  • Att glömma tecknet i determinanten. För en 2×2-matris gäller D = ad - bc, inte ad + bc.
  • Att anta att ett dubbelt egenvärde alltid är diagonaliserbart. En dubbelrot kräver ändå tillräckligt många oberoende egenvektorer.
  • Att avrunda för tidigt. Håll spår, determinant och diskriminant exakta så länge som möjligt, särskilt med decimaltal.

Vanliga frågor

Verktyget är inriktat på reella 2×2-matriser. Då blir resultatet genomskinligt: varje värde kommer från spåret, determinanten och det karakteristiska andragradspolynomet.

Ja. Om diskriminanten T² - 4D är negativ bildar egenvärdena ett komplexkonjugerat par. En rotationsmatris som [[0, -1], [1, 0]] är standardexemplet.

Räknaren visar egenvektorer för skilda reella egenvärden, eftersom det då går att ange en enkel reell vektor för varje rot. Dubbla och komplexa fall kräver mer sammanhang, så där håller sig verktyget till egenvärdena och klassificeringen.

Ingen fil laddas upp. Elementen behandlas av sidans komponent för att ge spår, determinant, polynom och egenvärden.

Relaterade verktyg

Omvandlare från månader till år

Räkna om valfritt antal månader till år plus återstående månader. Praktiskt för lånetider, projektplaner, barns ålder och beräkning av anställningstid.

Kattmatkalkylator

Beräkna dagliga kalorier och matportioner för din katt utifrån vikt, ålder och aktivitetsnivå. Anpassar sig till torr-, våt- eller blandad matning.

Namnkompatibilitetskalkylator

Skriv två namn och se hur deras numerologiska tal passar ihop: varje namns uttryck och själens drivkraft, med varje steg i uträkningen. Bara på skoj.

Kalkylator för viktnedgång i procent

Beräkna hur många procent av kroppsvikten du gått ner mellan två avläsningar. Stöder kg och lb med vettig avrundning.

Avrundningskalkylator

Avrunda exakta decimaltal från 12 decimaler till biljoner. Jämför bankavrundning, tak, golv och fem andra metoder.

Kalkylator för rimlig hyra

Uppskatta en rimlig månadshyra utifrån hushållets bruttoinkomst, hushållsel och andra kostnader som hyresgästen betalar samt vald andel för boendet. Inkluderar det vanliga riktmärket 30 %.

Verktyget finns på andra språk